A CIÊNCIA EXATA

A matemática (do grego máthēma [μάθημα]: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós [μαθηματικός]: apreciador do conhecimento) é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

quinta-feira, 6 de março de 2014

PARA OS ALUNOS DOS 8º ANO DA ESCOLA RISOLETA NEVES

PAGINA 26

 1- A empresa gasta: R$ 20.000,00 + 2500 . R$ 5,00 = R$ 32500,00
        Come se pretende obter lucro fe R$ 10000,00, o total arrecadado com 2500 brinquedos tem que ser R$ 32500,00 + 10000.00 = 42500,00.
        Cada brinquedo deverá custar:
             R$ 42500,00 : 2500 = R$ 7,00

2- R$ 18,00 + 0,12 .+ 0,12 R$ 18,00 = (1 + 0,120 . R$ 18,00= R$ 20,16

3 - Observe que o valor R$ 375,02000 não é necessário para fazer os cálculos.
    Se ele vendesse 250 canetas por R$ 3,20 cada, receberia R$ 800,00. Como ele vendeu 200 canetas, para receber os mesmos R$ 800,00, teria que cobrar R$ 4,00 .

4- 80,00 . x =104, então x = 1,3
  + um percentual de lucro = 1,3 Então:
o percentual de lucro = 0,3 = 30%

5- preço de venda =
   = ( 1 + percentual de lucro) . preço de compra
    R$ 44,00 = ( 1 - 0,12) . x então R$ 44,00 = 0,88.x
x = R$  50,00
Lígia pagou R$ 50,00 pela calculadora.
    
6- R$ 896,00 = ( 1 + x). R$ 640,00
    R$ 860,00 :
 R$ 640,00 = 1 + x,  então 1,4 = 1 + x
         x = 0,4 percentual de aumento = 40%
7- preço de venda = ( 1 + percentual de aumento) . preço de 
compra
   R$ 150,00 = (1 + 0,25). x 
  R$ 150,00 = 1,25 . x
           x = R$ 120,00
O comerciante  comprou o artigo por R$ 120,00

8- preço de venda = ( 1 - percentual de prejuízo) . preço de compra
  R$ 357,00 = ( 1 - x) . R$ 421,00
  R$ 357,00 : R$ 421,00 = 1 - x, então,
  0,85 = 1 - x  
       x = 0,15 = 15%
O percentual de prejuízo é aproximadamente 15%

9- Eu tenho x reais.
x . ( 1 + 0.25) = R$ 2500,00
 x = R$ 2500,00 : 1,25
 x = R$ 2000,00
Eu tenho R$ 2000,00

10- Preço de venda = (1 - percentual de prejuízo) . preço de compra
      R$ 1875,00 = (1 - 0,25). x
      R$ 1875,00 = 0,75 . x
            x = R$ 2500,00
Ricardo pagou R$ 2500,00 pela moto.

quarta-feira, 5 de junho de 2013

TRABALHO PARA OS 8 ANOS DA ESCOLA RISOLETA NEVES

TRABALHO DE MATEMÁTICA       

1.      O resultado de – 3a.(-2ª – 4) é:
a)      6a² - 12ª
b)     6a² + 12ª
c)      – 5ª + 4
d)     – 5ª – 4

2.      Certo aluno, ao efetuar a divisão ( 20x² - 8x ) : ( - 4x), cometeu um erro e deu a seguinte resposta: - 5x + 2. O erro está:
a)      no coeficiente do 1º termo
b)     no expoente do 1º termo
c)      no sinal do 1º termo
d)     no sinal do 2º termo

3.      A expressão x ( 2x – y ) – 2y( x – y) + xy(x + 3) é igual a:

a)      2x² + 2xy + x²y + 2y²
b)      2x + 4xy + x²y + 2y²
c)      2x²  2x²y  y²
d)     2x²y + x²y + 2y²

4.      O resto da divisão 3x² - 5x + 4 por x + 2 é:
a)      0
b)     15
c)      20
d)     26

5.      Determine o resto da divisão de  (2x – 3)(2x – 2)(2x + 2) por  x – 1:

a) 12
b) 2x
c) 3
d) 2
e) 0
6.      Determine o resto da divisão de  4(x – 3)(x – 2)(x + 2) por  x – 1:

a) 4x
b) -4x
c) 80
d) 24
e) 16

7.      Achar o quociente de:
a)      (12x² - 8x) :  (3x)
b)     ( x² - 5x + 6) : ( x + 2 )

8.      Determine o quociente da divisão do polinômio (  – 3x² + x + 2) por  (- x² + x + 1)

9.      Mostre que  + 2  + x + 2 é divisível por x² + 3x + 2

10.  Ache o quociente de (x + 5 ) por ( x – 2 )


terça-feira, 28 de maio de 2013

REVISÃO DE MATEMÁTICA (ESCOLA RISOLETA NEVES)

Potenciação
Definição   e resolução
 
Potência é todo número na forma an, com a ≠ 0.
 
a é a base, n é o expoente e an é a potência.
 
an = a x a x a x a x…a (n vezes)
 
Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a
 
1, a0 = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a1 = a.


Exemplos

21 = 2 540 = 1 44 = 256 53 = 125
 
Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário,

elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao

dado.



Exemplo




Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente

 negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-

versa, logo após, tornamos o expoente positivo.





Exemplos




Multiplicação de potências de mesma base

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base

conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

m . an = am + n

Exemplos




Divisão de potências de mesma base

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de
 
zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os

 expoentes.

am : an = am – n, com a ≠ 0.

Exemplos




Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente


Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo

expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na

 questão.

(a . b)n = an . bn
 
Exemplos

(5 . 6)4 → 54 . 64 (0,2 . 1,3)3 → (0,2)3 . (1,3)3


Divisão de expoente igual


Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)n = an : bn
 
Exemplos

(9 : 8)5 = 95 : 85 (2,3 : 0,1)2 = (2,3)2 : (0,1)2


Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência,
 
temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos

conservar a base e multiplicar os expoentes.

(am)n = am . n
 
Exemplos

(23)4 → 23 . 4 = 212 [(1/5)2]5 → (1/5)2 . 5 = (1/5)10


Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números

 que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

105 = 100000 (5 zeros)
107 = 10000000 (7 zeros)
103 = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.
10-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10-5 = 0,00001 (5 casas decimais)


Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

professora: Elieuza

domingo, 17 de março de 2013

ASSUNTO DA RECLASSIFICAÇÃO


Meus queridos e amados alunos do 8º ano (1, 2,3 e 4), segue abaixo o assunto e uma lista de exercícios para auxiliar nos seus estudos.

Abraços e boa sorte!

A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
» soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I
» a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II

A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)


DEFINIÇÃO
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os sistemas de equações podem ser possível e determinado, acontece quando se tem uma única solução, ou seja, quando as retas formadas pelas equações se cruzam em um único ponto. E podem ser impossível quando as retas formadas pelas equações no gráfico são paralelas.
Os métodos usados na resolução de um sistema são: Adição e substituição.
  • O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. como está explicado no exemplo acima.
  • O método da substituição consiste em trabalhar qualquer equação do sistema de forma a isolar uma das incógnitas, substituindo o valor isolado na outra equação.



PROBLEMAS:

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

R: X notas de R$20,00 e Y notas de R$5,00
Montando o sistema fica assim:

Para resolvermos este sistema, basta multiplicar uma das equações para que fique igual , mas com os sinais opostos.


1° passo: pegar a primeira equação e multiplicar por (-5) para tornar o Y igual e com sinal oposto para podermos simplificar o Y e ficar somente com uma incógnita para achar seu valor.

x+y = 10 *(-5)
-5x-5y = -50 ← Ficando assim a equação .

2° Passo: Somar a primeira equação com a segunda.

Resposta: Cláudio usou seis notas de R$20,00 e quatro notas de R$5,00.



I) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de substituição:

II) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de adição:

1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x.


2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) } .
        PROBLEMAS ENVOLVENDO SIATEMAS DE  1º GRAU

1, Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafa de um lito e meio, quanto de 60ml. Qual a quantidade de garrafas de cada capacidade  sabendo-se que 13 é o total de garrafas?
Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1° grau com 2 incógnitas, não seja a resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.
Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litros são 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.
Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de refrigerante.
Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.
Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a primeira equação:



O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de 13 garrafas. Temos então a segunda equação:


Eis portanto o nosso sistema:


Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da segunda equação por -0,6:



Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.
Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:


Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o termo 7,2:


Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y:



Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema.
RespostaNa geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml.

Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.

Exemplos:

a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema

x – y = 2

x + y = 6

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 6

4 – 3 = 1 4 + 3 = 7

1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)

A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima.

b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema

x – y = 2

x + y = 8

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 8

5 – 3 = 2 5 + 3 = 8

2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)

A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima.

* Métodos para solução de sistemas do 1º grau.

- Método de substituição

Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação.

Observe:

x – y = 2

x + y = 4

Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma:

x – y = 2 ---> x = 2 + y

Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do sistema:

x + y = 4

(2 + y ) + y = 4

2 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1

Temos que: x = 2 + y, então

x = 2 + 1

x = 3

Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.

- Método da adição

Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações fornecidas.

Observe:

x – y = -2

3x + y = 5

Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:

x – y = -2

3x + y = 5 +

4x = 3

x = 3/4

Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.

Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ?

Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo.

Ex.:

3x + 2y = 4

2x + 3y = 1

Ao somarmos os termos acima, temos:

5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte:

» multiplica-se a 1ª equação por +2

» multiplica-se a 2ª equação por – 3

Vamos calcular então:

3x + 2y = 4 ( x +2)

2x + 3y = 1 ( x -3)

6x +4y = 8

-6x - 9y = -3 +

-5y = 5

y = -1

Substituindo:

2x + 3y = 1

2x + 3.(-1) = 1

2x = 1 + 3

x = 2

Verificando:

3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 4

2x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1





sábado, 13 de outubro de 2012

Equação do 1º Grau com uma Incógnita


Equação do 1º Grau com uma Incógnita



Utilizamos uma equação para calcular o valor de um

 termo desconhecido que será representado por uma

letra, cuja representação mais usual se dá por x, y e z.

 As equações possuem sinais operatórios como, adição,
 subtração, multiplicação, divisão, radiciação e

 igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em

 dois membros, os quais são compostos de elementos

 constituídos por dois tipos: 

Elemento de valor constante: representado por valores


 numéricos.
 
Elemento de valor variável: representado pela união de


 números e letras. 

Observe exemplos de equações do 1º grau com uma


 incógnita: 

x + 1 = 6


2x + 7 = 18


4x + 1 = 3x – 9


10x + 60 = 12x + 52 



Para resolver uma equação, precisamos conhecer


 algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de

 resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas. 

Exemplo 1

4x + 2 = 8 – 2x 

Em uma equação, devemos separar os elementos


 variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos

 colocar os elementos semelhantes em lados diferentes

 do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos

 que mudarem de lado. Veja:
 

4x + 2x = 8 – 2 

Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.

 

6x = 6 

O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve


 passar para o outro lado, dividindo o elemento

 pertencente ao 2º membro da equação. Observe: 


x = 6 / 6 

x = 1 



Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1.


 A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na

 equação, observe: 


4x + 2 = 8 – 2x

 
4 .1 + 2 = 8 – 2 . 1

 
4 + 2 = 8 – 2 


6 = 6 → sentença verdadeira 


Todas as equações, de uma forma geral, podem ser


 resolvidas dessa maneira. 


Exemplo 2: 



10x – 9 = 21 + 2x + 3x 


10x – 2x – 3x = 21 + 9 


10x – 5x = 30

 
5x = 30

 
x = 30/5

 
x = 6 

Verificando: 

10x – 9 = 21 + 2x + 3x 


10 . 6 – 9 = 21 + 2 . 6 + 3 . 6 


60 – 9 = 21 + 12 + 18 


51 = 51 → sentença verdadeira 



O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.



Exemplo 3: 

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 


3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10

 
3x – 7x = –40

 
– 4x = – 40 

Nos casos em que a parte da variável se encontra 


negativa, precisamos multiplicar os membros por –1. 


– 4x = – 40 . (–1)

 
4x = 40 


x = 40/4

 
x = 10 


Verificando: 


3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 


3 . 10 – 2 . 10 + 10 = 10 + 5 . 10 – 40 


30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40 


20 = 20 → sentença verdadeira




Exemplo 4: 
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade


 distributiva da multiplicação 

10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 


– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2

 
– 13x + 8x = – 10 


– 5x = – 10 . (–1) 


5x = 10

 
x = 10/5 


x = 2 



Verificando: 

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) 


10 – (8 . 2 – 2) = 5 . 2 + 2(– 4 . 2 + 1) 


10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)

 
10 – (14) = 10 + 2(–7)

 
10 – 14 = 10 – 14

 
– 4 = – 4 → sentença verdadeira