Prof.: Elieuza Ideão Leite

quarta-feira, 9 de maio de 2012

PRODUTO NOTÁVEIS

Os produtos notáveis aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. O termo “Produto” pode ser o resultado de uma função de multiplicação e o termo “notável” poder definido como “importante”, ou aquilo que se destaca.

Quadrado da soma de dois termos

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ .

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.^[2]

Exemplos:
1. $\left( \frac{4x}{5y}+z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2$
2. $(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2$

[editar]Quadrado da diferença de dois termos

A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela:

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo

$(x - y)^2 = (x + (-y))^2 = x^2 + 2x(-y) + (-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Exemplos:
1. $\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{6mp}{4n}+p^2$
2. $(1-2x)^2=1-4x+4x^2$

[editar]Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2=a^2-b^2$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

Exemplos:
1. $(a^2+b^3) \cdot (a^2-b^3)=a^4-b^6$
2. $\left( \frac{a}{x}-2 \right ).\left( \frac{a}{x}+2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-4$

[editar]Cubo da diferença de dois termos

Regra básica: É o cubo do 1° termo, menos 3 vezes o produto do quadrado do 1° termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, menos o cubo do 2° termo.

$(x - y)^3=(x - y) \cdot (x - y)^2$

$= (x - y) \cdot (x^2 - 2xy + y^2)$

$= x^3 - 2(x^2)y + xy^2 - yx^2 + 2xy^2 - y^3$

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Exemplos:
1. $(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3$
2. $\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}$
3. $(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3$

[editar]Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos se diferencia do cubo da diferença apenas pelos sinais Regra básica: É o cubo do 1° termo, mais 3 vezes o produto do quadrado do 1°termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Exemplos:
1. $(m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3$
2. $(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$

[editar]Quadrado da soma de três termos

$(a + b + c)^2 = a^2 + ab + ac + b^2 + ab + bc + ac + bc + c^2$

$\Rightarrow (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Exemplos:
1. $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$
2. $(x-2y-3)^2=x^2+(-2y)^2+(-3)^2+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)$
  $= x^2+4y^2+9-4xy-6x+12y$
  
  Exercícios resolvidos de produtos notáveis
  
  a) (3x+y)²
  
  (3x+y)² = (3x)²+2.3x.y+y² = 9x²+6xy+y²
  
  b) ((1/2)+x²)²
  
  ((1/2)+x²)² = (1/2)²+2.(1/2).x²+(x²)²
  
  = (1/4) +x²+x⁴
  
  c) ((2x/3)+4y³)²
  
  ((2x/3)+4y³)² = (2x/3)²-2.(2x/3).4y³+(4y³)²
  
  = (4/9)x²-(16/3)xy³+16y⁶
  
  d) (2x+3y)³
  
  (2x+3y)³
  
  = (2x)³+3.(2x)².3y+3.2x.(3y)²+(3y)³
  
  = 8x³+36x²y+54xy²+27y³

segunda-feira, 23 de abril de 2012

GEOMETRIA ESPACIAL

PRISMAS

PRIMA RETO

PRISMA TRIANGULAR REGULAR

PRISMA HEXAGONAL REGULAR

PARALELEPÍPEDO RETÂNGULAR

CUBO

PIRÂMIDES

PIRÂMIDE REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

PIRÂMIDE QUADRANGULAR RELUAR

TRONCO DE PIRÂMIDE

CILINDROS

CONES

CONE CIRCULAR RETO

CONE EQUILÁTERO

TRONCO DE CONE

ESFERAS

POLIEDROS

quinta-feira, 19 de abril de 2012

RESPOSTA DA QUESTÃO DE CONJUNTOS

A segunda fase de um concurso público foi constituída de dois problemas: 340 candidatos acertaram somente um problema. 300 acertaram o segundo. 120 acertaram os dois problemas e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova?

Solução: Vamos fazer a distinção dos conjuntos

Conjunto A: conjunto dos candidatos que acertaram o primeiro problema
Conjunto B: conjunto dos candidatos que acertaram o segundo problema
Conjunto S: conjunto dos candidatos que fizeram a prova

Analisando as informações dadas, temos que:

1º. 120 acertaram os dois problemas → n(A∩B) = 120

2º. 300 candidatos acertaram o segundo problema→ note que não foi dito que acertaram somente o segundo problema. Para determinarmos quantos candidatos acertaram somente o segundo problema, faremos: 300 – 120 = 180.

3º. 340 candidatos acertaram somente um problema→ como 180 acertaram somente o segundo problema, fazendo 340 – 180 = 160 é o número de candidatos que acertaram somente o primeiro problema.

4º. 250 candidatos erraram o primeiro problema→ nesse grupo estão incluídos os candidatos que acertaram somente o segundo problema e os que erraram os dois problemas. Dessa forma, 250 – 180 = 70 é o número de candidatos que erraram os dois problemas.

Agora podemos responder à pergunta do problema.
Total = número de candidatos que acertaram somente o primeiro problema + número de candidatos que acertaram somente o segundo problema + número de candidatos que acertaram os dois problemas + número de candidatos que erraram os dois problemas

Ou seja,
Total = 160 + 180 + 120 + 70 = 530
Assim, concluímos que 530 candidatos fizeram a prova.

sexta-feira, 13 de abril de 2012

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Operações com polinômios

Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações a serem apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

Adição e Subtração

Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.

Adição

(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

–3x³ – 2x² + 7x – 3

Subtração

(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

3x³ – 2x² + 3x – 1

Multiplicação de polinômio por monômio

Para entendermos melhor, observe o exemplo:

(3x²) * (5x³ + 8x² – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação

15x⁵ + 24x⁴ – 3x³

Multiplicação de polinômio por polinômio

Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:

(x – 1) * (x² + 2x - 6)

x² * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² – 8x + 6

Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:

Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo 4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:

Exemplo 2:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo

(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40

Observe o exemplo de número 3:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5

Exemplo 4:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3

A CIÊNCIA EXATA