ASSUNTO DA RECLASSIFICAÇÃO

Meus queridos e amados alunos do 8º ano (1, 2,3 e 4), segue abaixo o assunto e uma lista de exercícios para auxiliar nos seus estudos.

Abraços e boa sorte!

A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?

Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
» soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I
» a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II
A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)

DEFINIÇÃO

Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os sistemas de equações podem ser possível e determinado, acontece quando se tem uma única solução, ou seja, quando as retas formadas pelas equações se cruzam em um único ponto. E podem ser impossível quando as retas formadas pelas equações no gráfico são paralelas.

Os métodos usados na resolução de um sistema são: Adição e substituição.

• O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. como está explicado no exemplo acima.
  
• O método da substituição consiste em trabalhar qualquer equação do sistema de forma a isolar uma das incógnitas, substituindo o valor isolado na outra equação.

PROBLEMAS:

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

R: X notas de R$20,00 e Y notas de R$5,00
Montando o sistema fica assim:

Para resolvermos este sistema, basta multiplicar uma das equações para que fique igual , mas com os sinais opostos.

1° passo: pegar a primeira equação e multiplicar por (-5) para tornar o Y igual e com sinal oposto para podermos simplificar o Y e ficar somente com uma incógnita para achar seu valor.

x+y = 10 *(-5)
-5x-5y = -50 ← Ficando assim a equação .

2° Passo: Somar a primeira equação com a segunda.

Resposta: Cláudio usou seis notas de R$20,00 e quatro notas de R$5,00.

I) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de substituição:

II) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de adição:

1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x.

2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) } .

        PROBLEMAS ENVOLVENDO SIATEMAS DE  1º GRAU

1, Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafa de um lito e meio, quanto de 60ml. Qual a quantidade de garrafas de cada capacidade  sabendo-se que 13 é o total de garrafas?

Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1° grau com 2 incógnitas, não seja a resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.

Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litros são 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.
Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de refrigerante.
Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.
Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a primeira equação:



O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de 13 garrafas. Temos então a segunda equação:


Eis portanto o nosso sistema:


Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da segunda equação por -0,6:



Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.
Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:


Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o termo 7,2:


Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y:



Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema.

Na geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml.

Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.

Exemplos:

a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema

x – y = 2

x + y = 6

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 6

4 – 3 = 1 4 + 3 = 7

1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)

A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima.

b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema

x – y = 2

x + y = 8

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 8

5 – 3 = 2 5 + 3 = 8

2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)

A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima.

* Métodos para solução de sistemas do 1º grau.

- Método de substituição

Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação.

Observe:

x – y = 2

x + y = 4

Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma:

x – y = 2 ---> x = 2 + y

Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do sistema:

x + y = 4

(2 + y ) + y = 4

2 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1

Temos que: x = 2 + y, então

x = 2 + 1

x = 3

Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.

- Método da adição

Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações fornecidas.

Observe:

x – y = -2

3x + y = 5

Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:

x – y = -2

3x + y = 5 +

4x = 3

x = 3/4

Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.

Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ?

Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo.

Ex.:

3x + 2y = 4

2x + 3y = 1

Ao somarmos os termos acima, temos:

5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte:

» multiplica-se a 1ª equação por +2

» multiplica-se a 2ª equação por – 3

Vamos calcular então:

3x + 2y = 4 ( x +2)

2x + 3y = 1 ( x -3)

6x +4y = 8

-6x - 9y = -3 +

-5y = 5

y = -1

Substituindo:

2x + 3y = 1

2x + 3.(-1) = 1

2x = 1 + 3

x = 2

Verificando:

3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 4

2x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1

RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DO ENEM 2012 1º PROVA

Equação do 1º Grau com uma Incógnita

Utilizamos uma equação para calcular o valor de um

 termo desconhecido que será representado por uma

letra, cuja representação mais usual se dá por x, y e z.

 As equações possuem sinais operatórios como, adição,
 subtração, multiplicação, divisão, radiciação e

 igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em

 dois membros, os quais são compostos de elementos

 constituídos por dois tipos: 

Elemento de valor constante: representado por valores

 numéricos.
 
Elemento de valor variável: representado pela união de

 números e letras. 

Observe exemplos de equações do 1º grau com uma

 incógnita: 

x + 1 = 6

2x + 7 = 18

4x + 1 = 3x – 9

10x + 60 = 12x + 52 


Para resolver uma equação, precisamos conhecer

 algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de

 resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas. 

Exemplo 1: 

4x + 2 = 8 – 2x 

Em uma equação, devemos separar os elementos

 variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos

 colocar os elementos semelhantes em lados diferentes

 do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos

 que mudarem de lado. Veja:
 

4x + 2x = 8 – 2 

Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.
 

6x = 6 

O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve

 passar para o outro lado, dividindo o elemento

 pertencente ao 2º membro da equação. Observe: 


x = 6 / 6 

x = 1 


Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1.

 A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na

 equação, observe: 


4x + 2 = 8 – 2x
 
4 .1 + 2 = 8 – 2 . 1
 
4 + 2 = 8 – 2 

6 = 6 → sentença verdadeira 

Todas as equações, de uma forma geral, podem ser

 resolvidas dessa maneira. 


Exemplo 2: 


10x – 9 = 21 + 2x + 3x 

10x – 2x – 3x = 21 + 9 

10x – 5x = 30
 
5x = 30
 
x = 30/5
 
x = 6 

Verificando: 

10x – 9 = 21 + 2x + 3x 

10 . 6 – 9 = 21 + 2 . 6 + 3 . 6 

60 – 9 = 21 + 12 + 18 

51 = 51 → sentença verdadeira 


O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.


Exemplo 3: 

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 

3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
 
3x – 7x = –40
 
– 4x = – 40 

Nos casos em que a parte da variável se encontra 

negativa, precisamos multiplicar os membros por –1. 


– 4x = – 40 . (–1)
 
4x = 40 

x = 40/4
 
x = 10 


Verificando: 

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 

3 . 10 – 2 . 10 + 10 = 10 + 5 . 10 – 40 

30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40 

20 = 20 → sentença verdadeira



Exemplo 4: 
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade

 distributiva da multiplicação 

10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 

– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
 
– 13x + 8x = – 10 

– 5x = – 10 . (–1) 

5x = 10
 
x = 10/5 

x = 2 


Verificando: 

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) 

10 – (8 . 2 – 2) = 5 . 2 + 2(– 4 . 2 + 1) 

10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)
 
10 – (14) = 10 + 2(–7)
 
10 – 14 = 10 – 14
 
– 4 = – 4 → sentença verdadeira

PRIMEIRO ANO

E.E.E.F.M., “RISOLETA NEVES”

Aluno(a):_______________________________Nº_____Turma____

Professora: Elieuza Ideão Leite

               AVALIAÇÃO de  MATEMÀTICA      valor (de 0,0 á 5,0)

1 – Qual é o conjunto das consoantes da palavra coco?

2 – Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:

  a) A inter. C     b) B inter. C  c) A inter. B inter.C

3 -  Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Quem venceu a disputa e com quantos votos?

4 - Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).

5 -      Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e  B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:

a)      A∪B                       b) A∩B

TRABALHO 3 ANO

               Trabalho de  MATEMÀTICA      valor (de 0,0 á 2,0)

1 – Determinar a distância entre os pontos:

a)  A ( -1, 2 ) e  B ( 2, 6 )

b   b) A ( a, a ) e  B ( 6 a, 13 a ) 

2 2 - Sendo A (seu perímetro 3, 1 ) B ( 4, -4 ) e C ( -2, 2 ) vértices de um triângulo, então esse triângulo é:

3 3 - Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. 


4 4 - Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?

4 5 - Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento4 - Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.



66 - A recíproca do Teorema de Pitágoras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de um triângulo é igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado então o triângulo é retângulo. Use este teorema e a fórmula de distância entre dois pontos para mostrar que os pontos (-3,4), (1,0) e (5,4) determinam um triângulo retângulo.

77  - Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5)

8 - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?

c9 - Calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.


010 -  As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x - 2y = -8 se cortam num ponto P. Achar a equação da reta perpendicular a r pelo ponto P.

TRABALHO PARA O 1 ANO EJA DO RISOLETA NEVES

               Trabalho de  MATEMÀTICA      valor (de 0,0 á 2,0)

1) Classifique os conjuntos abaixo em vazio, finito ou infinito:

a) B = { 0, 1 , 2 , ... 70}

b) C =   { x / x é um número positivo}

c) E= { x/ x é um número ímpar, solução da equação  = 4}

2) Sejam A = { x / x é um número par compreendido entre 3 e 15} B = { x/ x é um

número par menor 15 }, C = { x/x  é um número diferente de 2 }. Usando os

símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione entre si os conjuntos :

a) A e B                                     b) A e C                           c) B e C

3) Sendo A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 0, 2, 3, 5 } , C { x/x é par positivo menor que 10 }  e D

= { x/x  é número ímpar compreendido entre 4 e 10 } , determine:    

a)  A ∪ B                  b)  B  ∪ C            c)       A ∪ C         d) B  ∪ D          e) A ∪ D   

 

4) Dados A = { 0,2,1,5} e B = { 5,1,6,4 }, determine :

a)     A ∪ B             b) A ∩ B        c) A – B       d) B – A

5) Dados A = { 1,3,5 }   B = { 0,2,1,8}, D = { 2 }

a) A ∪ (B ∩ D)     b)   A∩ (B ∪ D)        c) A -  (  B  ∪ D  )    d) B – ( A – D )  

                                                                   

6) Dados A = { 0,1,2,3 } , B = { 1 ,2,3 }  C = { 2,3,4,5 }

a) A – B

b) A – C

c) B – C

d)  (A ∩ B) - C

e) ( A – C ) ∩ ( B – C ) 

  7) Dados M = { x/x ∈ℜe 0 ≤ x ≤ }5 e S = { x/x ∈ℜ e 1 ≤ x ≤ }7 , calcule:

a) M – S

b) S – M

c) Determine os números inteiros que pertencem ao conjunto M ∩ S

d) Determine os números inteiros que pertencem ao conjunto M ∪ S

8) Se A , B e  (A ∩ B) são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos respectivamente,   

determine então o número de elementos A ∪ B.              

9) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos, A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:

210 pessoas compram o produto A

210 pessoas compram o produto B

250 pessoas compram o produto C

20 pessoas compram os três produtos

100 pessoas não compram nenhum dos três produtos

60 pessoas compram os produtos A e B

Quantas pessoas foram entrevistadas?