A CIÊNCIA EXATA

A matemática (do grego máthēma [μάθημα]: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós [μαθηματικός]: apreciador do conhecimento) é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

quinta-feira, 16 de outubro de 2014

FUNÇÃO EXPONENCIAL

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Toda relação de dependência, em que uma incógnita
 depende do valor da outra, é denominada função. 
A função denominada como exponencial possui essa
 relação de dependência e sua principal característica é
 que a parte variável representada por x se encontra no
 expoente. Observe:

y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que
 a base elevada ao expoente x precisa ser maior que 
zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
                                       
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional 
entre outras situações. As funções exponenciais devem
 ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras
 envolvendo potenciação.

EXEMPLO: Uma determinada máquina industrial se
 deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua 
compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma
 constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver
 valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi
 comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 . 2 –0,2*10

12 000 = v0 . 2 
–2

12 000 = v0 . 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 . 4

v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.


PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL  

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k
 é um número racional, então:
  • ax. ay= ax + y

  • ax / ay= ax - y

  • (axy= ax.y

  • (a b)x = ax bx

  • (a / b)x = ax / bx

  • a-x = 1 / ax
  •   
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e
(e = número de Euller = 2,718...)
  • y = ex se, e somente se, x = ln(y)

  • ln(ex) =x

  • ex+y= ex.ey

  • ex-y = ex/ey

  • ex.k = (ex)k

  •  CONSTANTE DE EULER

    Existe uma importantíssima constante matemática definida por
    e = exp(1)
    O número e é um número irracional e positivo e em função da
    Ln(e) = 1
    Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
    O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
    e = 2,718281828459045235360287471352662497757
    Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
    ex = exp(x)

  • escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 


  • suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
  • definição da função exponencial, temos que:

  • CONCLUSÃO

    Podemos dizer que as funções são utilizadas no
    A função pode ser expressa graficamente, o que 
  • facilita a visualização do cálculo.
  •  nosso dia a dia. Em cálculos rotineiros como em juros, produtividade de uma empresa...

quarta-feira, 18 de junho de 2014

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Meus queridos e amados alunos do 8º ano (1, 2 e 3 e 4), segue abaixo uma lista de exercícios para auxiliar nos seus estudos.

Abraços e boa sorte!



EEEFM RISOLETA NEVES
Professor: Elieuza Ideão       Disciplina: Matemática         Turma: __________
Aluno(a): _________________________________________________________

Sistemas de Equações de 1º grau

1)    Resolva os sistemas formados pelas equações:

a)  x + y = 1
   4x + 7y = 10
b) 3x + y = 13
     x – 2y = 2
c) 2x + y = 4
    3x – y = 1
d) 2x + y = 5
      x – y = 1
e) x + y = 4
   3x + 2y = 9
S={   ,    )}
S={(    ,    )}
S={(   ,    )}
S={(  ,   )}
S={(   ,    )}

2)    Resolva os problemas:
a) Tenho que comprar lápis e canetas. Se comprar 7 lápis e 3 canetas, gastarei R$ 16,50. Se comprar 5 lápis e 4 canetas, gastarei R$ 15,50. Qual o preço de cada lápis e cada caneta? 

b) Certo dia, numa mesma casa de câmbio, Paulo trocou 40 dólares e 20 euros por R$ 225,00 e Pedro trocou 50 dólares e 40 euros por R$ 336,00. Nesse dia, 1 euro estava cotado em quanto? E um dólar?
.
c) Em uma garagem há automóveis e motocicletas. Contando, existem 17 veículos e 58 rodas. Qual o número de cada tipo de veículo?

D) Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha idade somado ao dobro da idade dele, dá 100 anos. Quais são nossas idade?

e) Para assistir a um show em um clube, compareceram 4000 pessoas. Nesse show, o número de sócios presentes foi 1100 a menos que o dobro do número de não-sócios presentes. Qual o número de sócios compareceu ao show?

f) Uma pessoa participa de um jogo em que uma moeda honesta é lançada 100 vezes. Cada vez que ocorre cara, ela ganha R$ 10,00 e cada vez que ocorre coroa, perde R$ 5,00. Se após os 100 lançamentos a pessoa teve umganho líquido de R$ 25,00, quantas vezes deve ter ocorrido cara na moeda?

g) Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 5,70. Opreço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Quais os preços de cada coxinha e cada copo de refrigerante?


j) Num quintal há 36 animais entre porcos e galinhas. Sabe-se que há ao todo, 112 pés. Quantos são os porcos e quantas são as galinhas?
                         


segunda-feira, 16 de junho de 2014

PARA O RISOLETA NEVES 1 ANO

SISTEMA CARTESIANO 

Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido
 como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes
 com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por
 dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro 
vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O
 eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical 
de ordenada (y). Os eixos são enumerados 
compreendendo o conjunto dos números reais. 
Observe a seguir uma figura representativa do plano 
cartesiano:


As coordenadas cartesianas são representadas pelos
 pares ordenados (x ; y). Em razão dessa ordem,
devemos localizar o ponto observando primeiramente o
 eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que
não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos
 quadrantes, veja:
1º quadrante = x &gt; 0 e y &gt; 0
 
2º quadrante = x &lt; 0 e y &gt; 0
 
3º quadrante = x &lt; 0 e y &lt; 0
 
4º quadrante = x &gt; 0 e y &lt; 0 


Localizando pontos no Plano Cartesiano: 


A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3 

B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2 

C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4 

D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4 

E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3
O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de
 gráficos de funções, onde os valores relacionados à x
 constituem o domínio e os valores de y, a imagem da
 função. A criação do Sistema de Coordenadas 
Cartesianas é considerada uma ferramenta muito
 importante na Matemática, facilitando a observação do
 comportamento de funções em alguns pontos
 considerados críticos. 

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a 
longitude, temas relacionados aos estudos geográficos
 e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS.
 O Sistema de Posicionamento Global permite que
 saibamos nossa localização exata na terra, desde que
 tenhamos em mão um receptor de sinais GPS,
 informando a latitude, a longitude e a altitude com o
 auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de
 utilização do GPS são os aviões, que para não se
 colidirem são monitorados e informados em qual rota 
 devem seguir viagem.

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.
   Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:
                     

    Assim:
Indicamos por (xy) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

  •    Observações
  1. De um modo geral, sendo y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos
    2.   Dois pares ordenados (x,  y) e (rs) são iguais somente se    x = r   e    s.


Representação gráfica de um Par Ordenado
    Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.
    Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

        Coordenadas Cartesianas
    Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

 A (3, 5) ==&gt;  3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
    Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

      
        



Plano Cartesiano

        Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.
        Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.
       A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).
       A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
       O ponto comum dessas duas retas é denominado
   origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
  
        Localização de um Ponto

            Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:
  • O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
  • O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
  • No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
  • Localize o ponto (4, 3).
    Produto Cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
    Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
    Esse conjunto é denominado produto cartesiano de por B, e é indicado por:
               
    Logo:
            Dados dois conjuntos A e B, não-vazios,
 denominamos produtos cartesiano A x B o 
conjunto de todos os pares ordenados (xy)
 onde 
 

IGUALDADE DE PARES ORDENADOS


y são pares ordenados (representados não
 explicitamente), a igualdade x = y significa por
 definição que a abscissa de x é igual aabscissa 
de y e que a ordenada de x é igual a ordenada de y
De outro modo, (a, b) = (c, d) significa por definição que a = c e b = d.

RELAÇÕES
A relação ou relação binária entre dois
 conjuntos A e B é qualquer subconjunto de 
Sejam os conjuntos A e B:
produto cartesiano de A por B, isto é,  é igual a:
Se tomarmos alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B:
R1R2 e R3 são relações de A em B, pois seuselementos são pares ordenados (x, y), com x pertencente a A e ypertencente a B.

Representação em um Diagrama de Flechas

Assim como fizemos no caso do produto cartesiano, também podemos representar uma relação através de uma diagrama de flechas, afinal de contas uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano.
A relação R2 vista acima pode ser representada pelo diagrama de setas, ou diagrama de flechas, ao lado:
Já que , temos apenas duas setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.

Representação no Plano Cartesiano

Também podemos representar uma relação no plano cartesiano. Para isto basta localizarmos cada um dos seus elementos no plano cartesiano como no gráfico ao lado, já que tratam-se de pares ordenados.
Neste gráfico ainda estamos utilizando a relação R2 como exemplo.
O primeiro elemento de R2 se refere ao ponto (1, 6) do gráfico. O segundo elemento se refere ao ponto (2, 4).
Agora vamos tomar como exemplo a relação R3, também podemos representá-la através de uma regra de associação ou lei de formação, para isto tomamos um par ordenado (x, y)de  e através da regra de associação relacionarmos y a x através de uma equação.
Vejamos como fica tal representação da relação
 :
Segundo esta expressão, R3 é um subconjunto de  formado por todos os seus pares ordenados onde, de acordo com a lei de formação, y é o dobro de x.

FUNÇÃO

As funções são definidas abstractamente por certas 
relações. Por causa de sua generalidade, as funções 
aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas
áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções.
 Deve-se notar que as palavras "função", mapeamento", 
"mapa" e "transformação" são geralmente usadas como
 termos equivalentes. Além disso pode-se 
ocasionalmente se referir a funções como "funções bem 
definidas" ou "funções totais". O conceito de
 uma função é uma generalização da noção comum 
de fórmula matemática. As funções descrevem relações
 matemáticas especiais entre dois elementos.
 Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a
 cada valor do argumento x (às vezes 
denominado variável independente) um único valor da 
função f(x) (também conhecido como variável 
dependente). Isto pode ser feito através de 
uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas
 representando os dois conjuntos, uma regra de 
associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina
 um ponto nesta representação, a restrição de unicidade
 da imagem implica um único ponto da função em cada 
linha de chamada do valor independente x.
Assim como a noção intuitiva de funções não se limita
 a cálculos usando números individuais, a noção 
matemática de funções não se limita a cálculos e nem 
mesmo a situações que envolvam números. Assim, uma 
função liga um domínio (conjunto de valores de
 entrada) com um segundo conjunto 
contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de
 saída) de tal forma que a cada elemento do domínio
 está associado exatamente um elemento do
 contradomínio. O conjunto dos elementos do 
contradomínio que são relacionados pela f a algum x do
 domínio, é o conjunto imagem ou chamado 
simplesmente imagem.

DEFINIÇÃO FORMAL

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos
 x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

f:X\rightarrow Y

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada
 elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.
Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação
 binária entre os dois conjuntos tal que:

  1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
  2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.
Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.
Considere as três funções seguintes:
Naofuncao1.pngEsta não é uma função, pois o
 elemento 3 em X é associado com
 dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
Naofuncao2.pngEsta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
Funcao venn.svgEsta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:
f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.


Elementos da função


As funções são comumente representadas em gráficos.
 O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos 
pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}

ou equivalentemente:

\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}

os termos deste par ordenado são chamados 
de abcissa e ordenada, respectivamente.
Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela
 especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas 
funções têm o mesmo gráfico, uma poderá 
ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, 
injectividade de uma função é completamente
 determinada pelo gráfico.

Tipos de funções



Dependendo do tipo de regra que associa os elementos
 do domínio aos elementos do contradomínio de uma 
função, ela pode receber nomes específicos. Por exemplo,

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo
 com o seu comportamento com relação à regra uma 
única saída para cada entrada. Como não foi dito nada 
sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas 
temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto 
encontramos apenas três tipos de classes de funções, e 
classe é empregado aqui como classificação mesmo e 

Função Sobrejetora


Vamos analisar o diagrama
 de flechas ao lado:
Como sabemos o
 conjunto A é o domínio da
 função e o conjunto B é o 
seu contradomínio.
É do nosso conhecimento que o conjunto
 imagem é o conjunto formado por todos os
elementos do contradomínio que estão
 associados a pelo menos um elemento
 do domínio e neste nosso exemplo, todos os
elementos de B estão associados a pelo menos
um elemento de A, logo nesta função
 o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamos como sobrejetora as funções que 
possuem o contradomínio igual ao conjunto
imagem.
Note que em uma função sobrejetora não
existem elementos no contradomínio que não
 estão flechados por algum elemento 
do domínio.
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
Esta função é definida por:
Substituindo a variável independente x, de 3x2
, por qualquer elemento de A, iremos obter o 
elemento de B ao qual ele está associado, isto é,
obteremos f(x).
Do que será explicado a seguir, poderemos
concluir que embora esta função
 seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.

Função Injetora


Vejamos agora este
 outro diagrama de flechas:
Podemos notar que nem
 todos os elementos
 de B estão associados aos
 elementos de A, isto é, nesta função o conjunto
imagem difere do contra-domínio, portanto esta
 não é uma função sobrejetora.
Além disto podemos notar que esta função tem
 uma outra característica distinta da função 
anterior.
Veja que não há nenhum elemento em B que 
está associado a mais de um elemento de A, ou
 seja, não há em qualquer elemento com mais
 de uma flechada. Em outras palavras não há
 mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Nesta função temos:
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
Definimos esta função por:
Veja que não há no D(f) qualquer elemento que 
substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o 

elemento 2 doCD(f), isto é, o elemento do CD(f) não é elemento da Im(f).

Função Bijetora


Na explicação do último
 tipo de função vamos
 analisar este
 outro diagrama de flechas:
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de
 uma função sobrejetora, pois não há elementos
em  B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função
injetora, já que todos os elementos

 de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:
Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos
elementos de A, iremos encontrar os 
respectivos elementos de B, sem que sobrem
elementos em CD(f) e sem que haja mais de um 
elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora,

quanto injetora, são classificadas como funções
 bijetoras.

Um Abraço.