PARA O RISOLETA NEVES 1 ANO

SISTEMA CARTESIANO 

Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido

 como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes

 com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por

 dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro 

vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O

 eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical 

de ordenada (y). Os eixos são enumerados 

compreendendo o conjunto dos números reais. 

Observe a seguir uma figura representativa do plano 

cartesiano:

As coordenadas cartesianas são representadas pelos

 pares ordenados (x ; y). Em razão dessa ordem,

devemos localizar o ponto observando primeiramente o

 eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que

não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos

 quadrantes, veja:

1º quadrante = x > 0 e y > 0

 
2º quadrante = x < 0 e y > 0

 
3º quadrante = x < 0 e y < 0

 
4º quadrante = x > 0 e y < 0 

Localizando pontos no Plano Cartesiano: 


A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3 

B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2 

C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4 

D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4 

E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de

 gráficos de funções, onde os valores relacionados à x

 constituem o domínio e os valores de y, a imagem da

 função. A criação do Sistema de Coordenadas 

Cartesianas é considerada uma ferramenta muito

 importante na Matemática, facilitando a observação do

 comportamento de funções em alguns pontos

 considerados críticos. 

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a 

longitude, temas relacionados aos estudos geográficos

 e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS.

 O Sistema de Posicionamento Global permite que

 saibamos nossa localização exata na terra, desde que

 tenhamos em mão um receptor de sinais GPS,

 informando a latitude, a longitude e a altitude com o

 auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de

 utilização do GPS são os aviões, que para não se

 colidirem são monitorados e informados em qual rota 

 devem seguir viagem.

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

   Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

                     

    Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

•    Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos

    2.   Dois pares ordenados (x,  y) e (r, s) são iguais somente se    x = r   e    y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado

    Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

    Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

        Coordenadas Cartesianas

    Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

 A (3, 5) ==>  3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

    Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

      

        

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.         Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.        A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).        A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).        O ponto comum dessas duas retas é denominado    origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

  

        Localização de um Ponto

            Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
• Localize o ponto (4, 3).

    Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

    Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

    Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

               

    Logo:

            Dados dois conjuntos A e B, não-vazios,

 denominamos produtos cartesiano A x B o 

conjunto de todos os pares ordenados (x, y)

 onde 

 

IGUALDADE DE PARES ORDENADOS

e x e y são pares ordenados (representados não

 explicitamente), a igualdade x = y significa por

 definição que a abscissa de x é igual aabscissa 

de y e que a ordenada de x é igual a ordenada de y. 

De outro modo, (a, b) = (c, d) significa por definição que a = c e b = d.

RELAÇÕES

A relação ou relação binária entre dois

 conjuntos A e B é qualquer subconjunto de 

Sejam os conjuntos A e B:

O produto cartesiano de A por B, isto é,  é igual a:

Se tomarmos alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B:

R₁, R₂ e R₃ são relações de A em B, pois seuselementos são pares ordenados (x, y), com x pertencente a A e ypertencente a B.

Representação em um Diagrama de Flechas

Assim como fizemos no caso do produto cartesiano, também podemos representar uma relação através de uma diagrama de flechas, afinal de contas uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano.

A relação R₂ vista acima pode ser representada pelo diagrama de setas, ou diagrama de flechas, ao lado:

Já que , temos apenas duas setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.

Representação no Plano Cartesiano

Também podemos representar uma relação no plano cartesiano. Para isto basta localizarmos cada um dos seus elementos no plano cartesiano como no gráfico ao lado, já que tratam-se de pares ordenados.

Neste gráfico ainda estamos utilizando a relação R₂ como exemplo.

O primeiro elemento de R₂ se refere ao ponto (1, 6) do gráfico. O segundo elemento se refere ao ponto (2, 4).

Agora vamos tomar como exemplo a relação R₃, também podemos representá-la através de uma regra de associação ou lei de formação, para isto tomamos um par ordenado (x, y)de  e através da regra de associação relacionarmos y a x através de uma equação.

Vejamos como fica tal representação da relação

 :

Segundo esta expressão, R₃ é um subconjunto de  formado por todos os seus pares ordenados onde, de acordo com a lei de formação, y é o dobro de x.

FUNÇÃO

As funções são definidas abstractamente por certas 

relações. Por causa de sua generalidade, as funções 

aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas

áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções.

 Deve-se notar que as palavras "função", mapeamento", 

"mapa" e "transformação" são geralmente usadas como

 termos equivalentes. Além disso pode-se 

ocasionalmente se referir a funções como "funções bem 

definidas" ou "funções totais". O conceito de

 uma função é uma generalização da noção comum 

de fórmula matemática. As funções descrevem relações

 matemáticas especiais entre dois elementos.

 Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a

 cada valor do argumento x (às vezes 

denominado variável independente) um único valor da 

função f(x) (também conhecido como variável 

dependente). Isto pode ser feito através de 

uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas

 representando os dois conjuntos, uma regra de 

associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina

 um ponto nesta representação, a restrição de unicidade

 da imagem implica um único ponto da função em cada 

linha de chamada do valor independente x.

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita

 a cálculos usando números individuais, a noção 

matemática de funções não se limita a cálculos e nem 

mesmo a situações que envolvam números. Assim, uma 

função liga um domínio (conjunto de valores de

 entrada) com um segundo conjunto 

o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de

 saída) de tal forma que a cada elemento do domínio

 está associado exatamente um elemento do

 contradomínio. O conjunto dos elementos do 

contradomínio que são relacionados pela f a algum x do

 domínio, é o conjunto imagem ou chamado 

simplesmente imagem.

DEFINIÇÃO FORMAL

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos

 x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada

 elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação

 binária entre os dois conjuntos tal que:

1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).
3. 
   

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

	Esta não é uma função, pois o  elemento 3 em X é associado com  dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
	Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
	Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão: Elementos da função

As funções são comumente representadas em gráficos.

 O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos 

pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

ou equivalentemente:

os termos deste par ordenado são chamados 

de abcissa e ordenada, respectivamente.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela

 especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas 

funções têm o mesmo gráfico, uma poderá 

ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, 

a injectividade de uma função é completamente

 determinada pelo gráfico.

Tipos de funções

Dependendo do tipo de regra que associa os elementos

 do domínio aos elementos do contradomínio de uma 

função, ela pode receber nomes específicos. Por exemplo,

• Se a regra que associa o domínio ao contradomínio é 
• um polinômio, então a função é dita uma função 
• polinomial. Exemplos de funções polinomiais são 
• a função linear e a função quadrática.
• Se a regra eleva o logaritmo neperiano pelos
•  elementos do domínio, então a função é dita exponencial.

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo

 com o seu comportamento com relação à regra uma 

única saída para cada entrada. Como não foi dito nada 

sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas 

temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto 

encontramos apenas três tipos de classes de funções, e 

classe é empregado aqui como classificação mesmo e 

não como classe de equivalência.

Função Sobrejetora

Vamos analisar o diagrama

 de flechas ao lado:

Como sabemos o

 conjunto A é o domínio da

 função e o conjunto B é o 

seu contradomínio.

É do nosso conhecimento que o conjunto

 imagem é o conjunto formado por todos os

elementos do contradomínio que estão

 associados a pelo menos um elemento

 do domínio e neste nosso exemplo, todos os

elementos de B estão associados a pelo menos

um elemento de A, logo nesta função

 o contradomínio é igual ao conjunto imagem.

Classificamos como sobrejetora as funções que 

possuem o contradomínio igual ao conjunto

imagem.

Note que em uma função sobrejetora não

existem elementos no contradomínio que não

 estão flechados por algum elemento 

do domínio.

Nesta função de exemplo temos:

Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }

Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }

Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }

Esta função é definida por:

Substituindo a variável independente x, de 3x²

, por qualquer elemento de A, iremos obter o 

elemento de B ao qual ele está associado, isto é,

obteremos f(x).

Do que será explicado a seguir, poderemos

concluir que embora esta função

 seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.

Função Injetora

Vejamos agora este

 outro diagrama de flechas:

Podemos notar que nem

 todos os elementos

 de B estão associados aos

 elementos de A, isto é, nesta função o conjunto

imagem difere do contra-domínio, portanto esta

 não é uma função sobrejetora.

Além disto podemos notar que esta função tem

 uma outra característica distinta da função 

anterior.

Veja que não há nenhum elemento em B que 

está associado a mais de um elemento de A, ou

 seja, não há em B qualquer elemento com mais

 de uma flechada. Em outras palavras não há

 mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.

Nesta função temos:

Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }

Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }

Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }

Definimos esta função por:

Veja que não há no D(f) qualquer elemento que 
substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o 

elemento 2 doCD(f), isto é, o elemento do CD(f) não é elemento da Im(f).

Função Bijetora

Na explicação do último

 tipo de função vamos

 analisar este

 outro diagrama de flechas:

Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de

 uma função sobrejetora, pois não há elementos

em  B que não foram flechados.

Concluímos também que esta é uma função

injetora, já que todos os elementos

 de B recebem uma única flechada.

Esta função tem:

Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }

Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }

Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }

Esta função é definida por:

Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos

elementos de A, iremos encontrar os 

respectivos elementos de B, sem que sobrem

elementos em CD(f) e sem que haja mais de um 

elemento do D(f) com a mesma Im(f).

Funções que como esta são tanto sobrejetora,

quanto injetora, são classificadas como funções

 bijetoras.

Um Abraço.